关于1+1是不是等于2

下面是我发表在http://www.douban.com/group/topic/1640291/ 上的关于这个问题的争论。
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我今天重新想了一下这个问题。我觉得是这样的，问这个问题的人（不针对那位楼主，因为大家经常都可能会有这样的疑问）似乎想要了解这样一件事情：
　　
　　大家常常说数学是世界的基础。而似乎1+1又是数学的基础。所以，如果1+1=2这个现在看上去是正确的命题如果错误了那么世界会怎么样。
　　
　　我估计把那个问题完整表达出来是这个意思。
　　
　　那么，会怎么样呢？首先，我觉得我很怀疑1+1=2是数学的基础。这里面有这么一个问题，因为1+1=2似乎是我们一开始接受教育的时候，最先学习的数学知识，所以就很想当然得觉得这个肯定是整个数学学习、乃是是数学的基础。
　　
　　可问题是，1+1=2究竟是不是整个数学的基础呢？
　　
　　我不是数学专业的，但是我是理工科的专业，数学还是有一定的基础。所以就谈谈我的理解。各位见笑。
　　
　　首先，1+1=2是一个运算法则。那么是什么范围内的法则呢？这个就是问题的关键了。
　　
　　1+1=2当然是算数运算的法则。如果1+1<>（不等于）2，那么2+2自然也就不等于4。
　　
　　所以，1+1=2是整数的一个运算法则。其实，1是整数系统里面的一个生成元和单位元，而0是整数系统里面的一个零元。一个系统如果有零元、生成元、单位元，那么这个系统就可能通过这三个元素来生成整个系统里所有的元素。
　　
　　放在这里就是说，使用0和1，可以生成整数集合里所有的元素。当然还要定义“+”这个运算。所以，1+1，可以认为是单位元1加上生成元1，得到了整数系统中一个新的数2。
　　
　　好了，这里“+”法是定义的。也就是说1+1=2这个式子是定义的。完全和现实可以没有任何关系。这仅仅是整数系统中的一个定义。
　　
　　那么，1+1不定义为2并没有什么太大的问题，仅仅是影响了整数集合的表达罢了，也就是说整数集合可能需要新的一些定义和描述。
　　
　　换句话说，1+1不等与2，最直接影响的就只是整数集合。
　　
　　而我们生活的世界，很显然不仅仅局限于整数。大家很容易想到我们至少生活在实数的世界中，甚至复数的世界中。
　　
　　那么实数有没有1这样的单位元和生成元呢？答案我觉得是没有。
　　
　　因为实数中，不可能存在这样的数能够生成实数集合中所有的数。
　　
　　没有。
　　
　　那么，也就是说，1+1=2这个式子，在整数集合中也许有着特殊的意义，但是在实数集合中可能仅仅是一个类似于0.1+0.2=0.3这样的式子，没有任何特殊的含义。
　　
　　那么实数集合中1+1<>2了，那怎么办呢？
　　
　　最直接的方法就是，把1单独处理。这也是数学中经常使用的方法。1这个点的运算单独定义，其他的仍然按照现在的定义进行运算。 　　
　　
　　说了那么多，其实就是想说，1+1=2是否成立这个论题其实并没有太大的意义。 　　
　　
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　　当然，我的理解也是非数学专业的理解。大家的很多疑问其实完全在于对数学的不够了解。
　　
　　欢迎继续针对这个问题发表看法。

试用了Orcas

星期天的时候花了好长时间安装好了Visual Studio 9.0 Codename Orcas Beta1。 也就是下一个版本的Visual Studio。关于为什么要下载一个Beta版本的开发工具试用，其实我是这么想的。早点熟悉一些新的环境，便于以后在Vista上的开发。

因为MFC最终还是没有时间和精力去学习和研究了，所以总觉得还是应该掌握一个Windows下的开发平台环境，目前还算比较熟悉的是.NET下的Win Forms开发。然而，Vista下，更加华丽和优雅的WPF开发又让我觉得那才是未来的趋势。所以，我很想早点进入WPF的世界。

另一方面，从种种渠道了解到的C# 3.0的特性也是十分兴奋的。还有早已经盛传了的Linq。从我初步试用的情况看，真的是很神奇。把SQL语句的感觉直接用在了编程语言里。看来我们还是需要多适应新的环境。

当然，因为是Beta版本，所以并不打算把开发环境转移到这个底下。但是有了Orcas之后，WPF的开发就有了门路。

法国里尔国家交响乐团

Jean-Claude Casadesus给了我们一次近距离欣赏法国音乐的机会。里尔国家交响乐团果然没有让我们失望。相比与一个月前，我去中央音乐学院看所谓的中国青年交响乐团的演奏，里尔国家交响乐团真正演绎了什么才是音乐。当然，这么说有一些夸张。但无论如何，要想演奏真正的音乐，中国的音乐家们还需要很长的路要走。

还是说说演出吧。上半场两个柏辽兹的曲子不是很熟悉，典型的法国风格，结构比较散。不过拉威尔的《圆舞曲》很有味道。虽然我觉得我坐的位子不是很好，有一些主旋律隐藏在了里面。但是，这也未必不是一种风格。节奏把握得非常好，舞曲和巴黎的浮华似乎就在眼前。关键是音色，慵懒而略带一丝糜烂，典型的拉威尔。

下半场一开始的《兹纲舞曲》则显得效果不错，但是吉普赛味道不足。李传韵似乎仅仅把这首曲子当作了炫耀技巧，对于吉普赛的舞曲的特点把握上还不是特别到位。后面加演的曲子倒是很能够突出李传韵的特点。

《波莱罗》，早先并不是很喜欢这类很通俗的作品。最早听到是十年前的时候，在法国世界杯上。当然，后来这首曲子曾经成为我和Crend之间的笑料。但不可否认的是，这还是一部伟大的作品。法国的乐团似乎总能够把握住这首曲子的真正内在动力。相比之下，德国的乐团似乎更加在乎结构。

最后的加演还是不错的，都是耳熟能详的曲子。Casadesus今年72岁了，还是十分有激情。
总之，这是一场不错的演出。

草原的路

草原的山

将军泡子

风云

夕阳的马群

马群

喇嘛山

乌兰布统草原（三）

第三天的计划是登喇嘛山。

喇嘛山得名于清朝康熙皇帝在这里给他的舅舅举行祭祀活动。清朝的国舅在康熙平定准葛尔叛乱的战役中殉国。康熙在乌兰布统最高的山上请了西藏最好的喇嘛来给国舅超渡。

虽然是乌兰布统最高的山，但其实也仅仅是比较大一点的土坡。实际上可能也就是三五白米高。山上都覆盖着草，还有一些小树林。没有大多数景区的石梯，完全是自助爬行。看来，这是我第一次爬“野”山坡了。

早上出来，风就比较大。没有草覆盖的地方，沙尘都被扬到了天上，很让人感受到沙漠的气氛。虽然喇嘛山离名仁山庄看上不远，但还是走了一段时间才来到山脚下。有一块牌子提醒汽车不能开上山去。看来徒步是唯一的选择了。

当地人曾给我们说，在乌兰布统看日出，喇嘛山是一个不错的选择。

慢慢往山上走，才感觉到了草原凌冽的风。在这种地方，没有任何一个地方可以遮蔽。半山上倒是有一群马在悠闲地吃草。草丛中偶尔能看见紫色的小野花，十分令人爱怜。

越往山上走，身后的景色就显得越发渺小。慢慢地，整个红山军马场就像是小人国里的城镇了。道路上的车辆也变得在草原上缓缓爬行。走上山上才发现军马场其实四面都环山，中间是一大块平地。

半山腰有一大片桦树林。白色的树干在蓝色的天空下显得孤独而挺拔。在这片地方，我们放下东西，摆着姿势照了好几张不错的照片。

再往上走，其实没走多久就到了山顶。只不过没有想到的是，喇嘛山的背后还是山。这样倒让我很奇怪看日出是怎么看的了。山顶的风非常大。人都有一点站立不稳。看来必须要赶快下山。

下山倒是挺快的，不过风一点也没有小。而这时候整个天空都已经成了土黄色。看来是草原的沙尘暴了。

下午本来有两种计划，一个是去军马场骑马，一个是租车去影视基地里面转转。不过都是花钱的事情，更何况天气十分恶劣，只能作罢。

五月的草原，到处的景色都差不多。要是能够七月来就好了。在名仁山庄看到了不少摄影作品，都是在七八月拍摄的，色彩十分鲜艳，而十月份则显得更加灿烂，有很多人都慕名而来。

第四天又是早早就起来了，赶上了7点钟回围场县城的班车。车上居然有好多像我们这样的游客，还有一对夫妇，听口音是广东那边的人，带着很小的小孩就出来了，也挤这样的公交车。从军马场到围场县城花了两个小时左右。在车上遇到一个女孩，自己一个人到军马场玩儿，着实让我们很钦佩了一番。毕竟军马场的交通和各种都不是很方便，再加上是一个女孩子，要一个人玩儿还是需要勇气的。不过别人看上去非常高兴。还告诉我们她前一天去了承德，今天回北京玩儿。

坐上回北京的汽车以后，心里就踏实了不少。不过还是花了7个小时左右才到北京。没有走高速路的确非常缓慢。特别是进入北京以后，从密云到市区沿途都堵车。还好，在天黑前回了学校。

(完）

乌兰布统草原（二）

第二天本打算起来看日出，怎奈草原日出太早，而要看日出的话，还需要登上喇嘛山，这并不是一件十分容易的事情，因此最终没有去。

早上8点半起来，去吃了名仁山庄的早餐，还不错，我们也吃下了不少的东西。然后我们带上了设备和干粮就出发了。今天的目标是影视基地和将军泡子。

所谓影视基地其实就是《还珠格格》的外景基地，而将军泡子则是康熙平定准葛尔叛乱的古战场所在地。第一天我们曾经大概打听了这两个地方的距离，有人告诉我们仅有几里地的距离，走路最多一个小时就到了，这让我们很有信心能够很快就到达这两个地方。

从军马场小镇的北面的一个岔路口，我们就一直往西走，很快就看到了草原。左边是一大片树林，右边则是有一些小山坡的草原。新草自然还没有长出来，都是枯萎的杂草铺在地上。不过湛蓝的天空让并没有生气的草原显得富有力量。我们走下了公路，一路拍照和摄像，行进的速度并不是很快。

走到一个拐弯处，看到了一个小亭子，亭子旁边有一个石碑，一看发现是“辽河源头”。很难想象辽河的源头原来在这样一个地方。继续沿着公路往前走，随时都有汽车从身边飞奔而过，这里简直就是飙车者的天堂。事实上，草原的宽广让人很难察觉到距离和速度。亭子附近是一片金莲花地。这个时节金莲花还没有开花，但是一个广告牌上的成片金莲花让人很容易想象到这里应该有的景色。

路上遇到不少游人骑马，还有从浙江来的。当然，骑马也是很有一番风味的。不过价格比较贵，我们也就没有考虑了。走路虽然累一些，但是更能够和自然接触，更能够体会到真正的草原。事实上，很多游客可能都没有真正近距离看看草到底是什么样的，草到底是长在什么土地上。这可能也是不同游客的遗憾吧。

来到一个叫“第三军马场”的地方。这里是圈养马匹的地方。不少旅行团的车辆都停在这里，很明显，游客都来这里过一把骑马的瘾。我们问了一下这里的住民，有人说将军泡子还有十五公里，有人说还有六里。看来，事情并不是那么简单。我们原本想坐一个小车过去，可谁知道车主一听说我们要过去，马上就开高价，让人觉得十分厌恶。于是我们放弃了搭乘车辆的想法，继续前行。

虽然不知道将军泡子究竟还有多远，但是我们觉得应该不远了。当然，时间也并不是特别早了，都已经快中午了。风渐渐大了起来，太阳慢慢散发出了灼人的温度。

往前走了不太远，就发现了一块大牌子上面写着“影视民俗园”，看来这里就是所谓的影视基地了。仔细观察，发现真的非常像《还珠格格》里面的某些场景。一座并不高的小山上有一大片树林，而树林下面是辽阔的草地。从影视基地望进去，不远处有两个小蒙古包，中间还有一个大的蒙古帐篷。后面的山坡上，一群马正三五一群的在悠闲地吃草。整幅图画十分美丽。

草原的路常常因为有小山而蜿蜒。由于辽阔，仿佛所有的距离都并不遥远。然而，汽车开过以后，我们发现，很大的汽车也会在看上去不远的地方变得十分渺小，看来，日常目测的经验这里并不是十分有效。如果照刚才“第三军马场”的某个原住民所说，影视基地有三里地，将军泡子有六里地的话，将军泡子还应该要走好一阵子。考虑到已经临近中午，我们决定休息一下，然后商量下一步的策略。

坐在草原的公路旁，两边都是铁栅栏围起来的广阔草地。一开始还很不理解为什么要用栅栏把草原给围起来。慢慢才理解了这样做的良苦用心。汽车和人都不能很随意地进入草原，给本来就很脆弱的草原生态环境一点保护。

坐下来吃了一些东西，我们前行到一个蒙古包旁，找到一个师傅，问到将军泡子还有多远。那位师傅告诉我们还有一段距离。于是我们和他商量了一下，他用摩托车把我们给载过去。最终花了10块钱，坐在摩托车上来到了将军泡子。

所谓“泡子”和北京的“海”一样，都是“湖”的另一种称谓。“泡子”其实就是草原上的湖。当然了，将军泡子不仅仅是因为湖光山色而著名，更因为这里是康熙皇帝平定准葛尔叛乱的古战场，给本来宁静的草原增添了不少神秘的色彩。

从公路到将军泡子还有大概一公里的路程，虽然看起来非常近。公路口有小贩招呼着骑马。从公路往里走，很快就能看见将军泡子那宽大的水面。将军泡子这个地方是三面环山，中间一个水湖，景色还是十分美丽的。草原的风比较大，一阵风吹来，天上的云在地上的影子快速的移动，有一种风云变幻的美。

不少来游览将军泡子的人都是开车而来，至少是把车停在公路上，然后快速骑马来到将军泡子。这种方式自然是很快捷，当然，也就少了体验草原的机会。将军泡子附近的草原其实已经荒漠化了。草地下面就是沙漠。不少没有草的地方直接就是裸露着白沙。让人很担忧这里的生态。

有当地居民告诉我们，将军泡子里还有鱼。看来，情况还没有太糟糕。从将军泡子出来，我们慢慢往回走。刚才骑摩托车跑过的路段，现在又靠我们的双脚给走了过去。

不过最终我们还是决定坐车回去，因为也不想太过于劳累，还想在晚些时候出来看日落。于是和刚才骑摩托车送我们到将军泡子的居民商量了一下，他答应带我们会红山军马场。

摩托车的速度的确还是比较快的。

这个居民他们几个人才承包了几个蒙古包，开旅店。价格似乎很便宜，不过因为安全性，我们并不是很愿意住在那种地方。回到名仁山庄，我们好好休息了一下。

快7点的时候，我们爬起来，穿过山庄后面的树林，走到草地上看日落。草原上的日落还是别有一番风味的。名仁山庄后面的喇嘛山被映成红色，放牧归来的马群从我们面前飞奔而过，掀起一阵阵风沙。放牧人在夕阳的照射下，显得神秘而苍茫。整个天都是金色的。

第二天就结束了。还是挺累的。晚上吃了不少东西。今天名仁山庄已经来了不少人了。看上去都是组队自驾游的。真羡慕这些有车的人啊。

乌兰布统草原（一）

在五一假期，又一次踏上草原木兰围场。其实，最早有这样的想法是源自于去年去承德的几天游玩儿，其间去了木兰围场一次，但是路途相当艰难，因此最终也没有能够更加亲密地接触草原。

转眼又是一年，开始寻思五一假期去哪里比较合适。一开始想要去一个有海的地方，大连进入候选名单中。然而无奈去大连可能带来比较高的花费，所以最终放弃。仔细看了看北京周边的不少地方，似乎也没有太好的地方，最终还是选择了草原。

就季节来说，五月份的草原并不是很好。大部分地区的青草都还没有长出来，也谈不上拥有色彩丰富的景色。这时候的草原更多的是一种苍茫和壮阔。尽管如此还是决定在这个时候去草原。

这里首先说一说关于木兰围场的一些小知识，也方便没有去过的人了解一些基本信息。首先，我们经常听到这些概念：木兰围场、坝上草原、乌兰布统草原，红山军马场、机械林场、塞罕坝森林公园。那这些概念究竟是什么意思？它们之间又是什么关系呢？

是这样的。木兰围场是一个很笼统的概念。当初清朝皇帝选择今天内蒙古和河北交界的一大片地区作为皇家狩猎场所，而今这一大片地区属于好几个不同的行政区划，因此很难说明白到底什么地方就是木兰围场，仅仅能说，哪里属于木兰围场。而且，这个木兰围场和现在的河北围场县也并没有太多的联系。也就是说，现在的围场县城其实根本和围场本身关系并不大。坝上草原是和塞罕坝这一个概念紧密联系在一起的。塞罕坝是内蒙古和河北交界处的一大段山脉的总称，属于大兴安岭的余脉。坝上是指塞罕坝的北面。因此，坝上草原就是指塞罕坝北面的草原。在地理位置上，坝上草原和木兰围场有着重复的地方。事实上，木兰围场 有好大一块地区就属于坝上草原。而乌兰布统草原就属于坝上草原，也属于木兰围场中的一围。红山军马场是乌兰布统草原上的一个小的行政单位。机械林场指的是塞罕坝山上的一个国营林场，属于河北境内，是去乌兰布统草原（红山军马场）的必经之地。而塞罕坝森林公园就位于机械林场境内。

在网上查到去草原的路，有两种选择。第一种方式是坐火车到河北四合永，然后坐汽车到围场县城，从围场县城坐汽车到红山军马场，途径机械林场。第二种方式是坐汽车直接从北京到围场县城，然而坐汽车到红山军马场。这两种方式都是有利有弊。前者主要是从四合永到围场不太方便，很有可能只能租车，而租车的费用不菲。后者的主要问题是从北京到围场县城的汽车路途比较遥远，需要多长时间还是一个未知数。

考虑到火车买票的不便和到四合永时间上不是很好等诸多因素，最终我们还是选择了汽车这种方式。我在出发前几天首先考察了北京六里桥汽车站，去围场县城的班车还是比较多的，最早一班是早上6点20的。然而咨询人员告诉我一般行程是6-7个小时，这让我又有一些担心。因为从围场县城到红山军马场的班车只有下午1点半一班。能否赶上这趟班车对于整个旅途将是十分关键的。

5月1号早晨5点半左右，我们就出发了。到了六里桥汽车站之后，发现6点20的车已经没有座位了，无奈之下只能买了7点20的车票。然而，7点20能否赶上1点20的班车就成为了我们最关心的问题。在六里桥汽车站旁边的一个网吧里，我们找到了一个叫名仁山庄的旅馆的联系方式，通过名字，我们感到，这里也许就是去年我们曾经住过的地方。于是我们打了电话。得知除了1点半的那班车以外，还有一班3点半的车，只不过是仅仅到机械林场。老板说可以让车到机械林场来接我们。这样，我们暂时消除了顾虑。顺便打听了一下房价，不算贵，完全在我们的承受范围之内。于是我们又回到候车大厅，准备登车。

汽车在7点20准时发车。不过五一的北京道路很早就开始拥堵。汽车好不容易上了西南四环，从南往北绕行。到了四元桥的时候，汽车居然下了四环，开到路边去拉客。原来，车上还有四个空座位，而司机和售票员是不愿意丢掉这么一个容易的赚钱机会的。很快就有人上了车，票价自然就高出了一些。然后，售票员又开始鼓动乘客出钱走高速公路。这就有一些让人不可接受了，本来汽车走什么样的路线完全应该是固定的。特别是这样的班车。难道说，乘客出钱就走高速，不出钱就不走高速。哪趟车是否走高速完全取决于那趟车的乘客。这显然有一些说不过去。再说了，乘客在汽车站买了票，就应该包含了整个旅途的费用，怎么可能在汽车还没有离开北京的时候就又要向旅客索取费用呢？虽然最终大多数乘客都交了钱。但是这种现象让我对北京的客运服务感到十分不满。

事实上证明，走高速公路也未必就节省了多少时间。从四元桥绕回四环路然后上了京承高速，沿途车辆非常多，车速也并不是特别快，10点过汽车才来到北京密云的古北口附近。京承高速也到了结束的地方。汽车行驶到了国道上，沿途大货车非常多，道路十分繁忙。在一家小旅店，汽车稍作休息。中午的太阳渐渐火辣起来。总的说来，五月的北方，还是一片荒凉，到处都是黄土一片。沿途经过的不少村落都显得十分贫瘠和落后，让人不能不感慨北京周边的发展是多么不平衡。

途中又走了一小段高速以后，汽车就又行驶到了国道上。沿途经过了滦平、隆化等县，慢慢离围场县城越来越近了。眼看已经过了2点，1点半的班车已经完全不可能了。我们便开始着急是否能够赶上3点半的班车。怎奈汽车还拐到四合永去送人，更让人觉得心急。还好，汽车终于在3点过点儿驶进了围场县城。来不及等汽车到达车站，我们便跳下了车，找了一个三轮摩托车奔向围场北站。

到了围场北站，一下感受到了一年前的气息。这个小站还是没有太多的变化，唯一的变化可能就是卖票的地点从车上挪到了候车大厅里。我们很迅速买了两张票，在车的最后面找到了两个座位。还好，终于坐上了车。

在车上于名仁山庄的老板联系，她答应让车来机械林场接我们，说到时候有一辆红色松花江来接我们。这下总算松了一口气。

从围场县城开出的班车非常顺利地行驶在山峦之间，沿途的风景也在逐渐地变化。慢慢的，有一些草原的境像就出现在我们的眼前。比如大片还是枯草覆盖的土地，中间还有只有在草原上才能看见的小河流。我们座位旁边的两个当地人正在海阔天空谈着生意和生活，听上去十分过瘾。

汽车进入机械林场的地段之后，开始很艰难的翻越山峦。山并不是很高，但是没有太好的路，沿途都扬起很高的沙尘。看来，自驾车到这个地方对汽车还是一个不小的考验。

两个小时左右，汽车终于到了机械林场。很远就看见了接我们去名仁山庄的师傅，一个很和蔼甚至有一些腼腆的年轻人。红色小面包快速行驶在林场的小道上，司机也很乐意给我们介绍一些草原的基本情况。

到了河北和内蒙古交界的界河时，我们很意外的被拦了下来。原来，所有进出的车辆都要被检查，如果发现有游客就要缴纳过路费。去年我们没有交这个钱，完全是因为当地的班车（也就是1点半从围场县城开出的那班车）不会被检查。磨了半天嘴皮子，最终还是没有能够逃掉这个过路费。在花费了120元的代价后，我们最终踏上了乌兰布统草原，来到了红山军马场，此时已经是六点过了。

和女老板讨论了房价之后，女老板答应我们每天早上的早餐送给我们（在这里并没有早餐免费这一惯例）。眼看着太阳就要下山了，我们也打消了马上就出去逛的念头。找到一个小超市买了一些第二天吃的东西。晚饭到了餐厅发现就整个旅馆就我们两个人，可能五月一号还有不少人没有赶到。事实上，我们吃饭到一半的时候，又来了两个游客，开车来的，两个年轻人。于是，我们四个人就是当天全部的房客了。晚上吃了东西时间也不早了，考虑到第二天还要去玩儿，所以我们也就早早休息了。